【摘要】對新建橋梁建立反映實際結(jié)構(gòu)特性的動力模型不僅可以應(yīng)用于進一步分析結(jié)構(gòu)動力安全性和發(fā)展合理的振動控制策略，還可以用作結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的基準模型。本文利用江陰長江公路大橋竣工試驗的環(huán)境振動測量數(shù)據(jù)，采用一種基于特征值敏感性分析的參數(shù)修正方法對大橋基于設(shè)計圖紙的有限元模型進行修正。修正后有限元模型的動力特性更加接近于大橋環(huán)境振動試驗的實惻值。
關(guān)鍵詞 模型修正 動力特性 有限元模型 特征值敏感性 懸索橋
一、引言
有限元建模是大跨度索交承橋梁分析與控制的基本手段。通常，結(jié)構(gòu)有限元模型是根據(jù)設(shè)計圖紙構(gòu)造的，常隱含理想化假定與簡化。因此，有限元分析預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和在實際結(jié)構(gòu)上測得的結(jié)構(gòu)行為之間不可避免地會存在一定的偏差。造成這一偏差的原因主要包括：①連續(xù)系統(tǒng)離散化引起的誤差；②結(jié)構(gòu)幾何與邊界條件的不確定性；③結(jié)構(gòu)材料特性的變異性；④測量過程中大橋環(huán)境與運營條件的變化;⑤試驗測量和試驗信號處理過程中的誤差。
利用結(jié)構(gòu)現(xiàn)場實測的振動信息修正結(jié)構(gòu)的有限元模型，使得修正后結(jié)構(gòu)分析的模態(tài)參數(shù)與試驗值趨于一致。這一過程即有限元模型修正，也稱參數(shù)（數(shù)學(xué)）模型修正［1］。對于大跨度索交承橋梁，修正后的結(jié)構(gòu)模型至少可以應(yīng)用于三個方面：①結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和動力安全性再分析；②某些振動控制技術(shù)的控制策略制訂；③利用新建橋梁現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)修正得到的結(jié)構(gòu)模型可以用作大橋健康監(jiān)測和整體性評估的基準。
本文針對江陰長江公路大橋懸索橋結(jié)構(gòu)，利用大橋竣工試驗的環(huán)境振動測量數(shù)據(jù)和提取的模態(tài)信息，修正大橋在設(shè)計階段根據(jù)設(shè)計國紙所建立的有限元動力模型。為此，本文主要進行以下幾方面的研究介紹：
（1）簡單介紹一種適用于大跨度索交承橋梁結(jié)構(gòu)模型修正的方法；
（2）建立江陰長江公路大橋基于設(shè)計圖紙的有限元模型并進行自由振動分析；然后與大橋環(huán)境振動試驗結(jié)果相比較；
（3）對基于設(shè)計圖紙的有限元模型進行修正。
二、模型修正方法
在索交承橋梁的有限元振動特性分析中，結(jié)構(gòu)自振特性由以下方程確定：
其中，Ke和Kg分別為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣；上標t表示切線剛度；M為質(zhì)量矩陣。由于加勁梁質(zhì)量的變化影響纜索拉力從而影響結(jié)構(gòu)總體剛度
的變化，所以對索支承橋梁結(jié)構(gòu)的模型修正必需考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化對剛度變化的影響，是一種非線性模型修正問題。
針對這一問題，可以采用一種基于特征值敏感性分析的參數(shù)修正方法【2，3】，引進行求解。現(xiàn)將這一方法簡單介紹如下。
將（1）式所示的結(jié)構(gòu)自由振動方程轉(zhuǎn)化為模態(tài)空間的特征方程，即可求得結(jié)構(gòu)第i階特征值人和相應(yīng)的特征向量φi：
Kφi＝λiMφi （2）
其中，剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M由結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。結(jié)構(gòu)參數(shù)包括結(jié)構(gòu)材料與幾何特性、構(gòu)件聯(lián)結(jié)條件以及結(jié)構(gòu)的邊界條件。
對于建立的有限元模型，假設(shè)估計的結(jié)構(gòu)參數(shù)集為Pa。通過分析可得結(jié)構(gòu)理論特征值向量Λa和特征向量矩陣（振型矩陣）Φa（下標a表示有限元模型初始估計值或理論分析值）。對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)試驗分析，可得結(jié)構(gòu)實測的特征值Λe和振型Φe（下標e表示試驗實測值）。
如果不考慮測量精度較低的振型項，通過特征值對結(jié)構(gòu)參數(shù)的Taylor級數(shù)展開并略去高階項，可得結(jié)構(gòu)參數(shù)修正與特征值余量之間的關(guān)系：
δΛ=SδP （3）
其中，δΛ為結(jié)構(gòu)特征值余量，δΛ＝Λe－Λa；δP為結(jié)構(gòu)參數(shù)的修正值向量，δP＝P一Pa；P為修正后的參數(shù)向量；S為結(jié)構(gòu)特征值的一階靈敏度矩陣。
值得注意的是，當有參數(shù)對測量值（頻率）影響非常小，或幾個參數(shù)對測量值影響相近時。靈敏度矩陣S很可能會是病態(tài)的。另外，當待修正參數(shù)較多或?qū)崪y數(shù)據(jù)存在較大誤差時，修正的參數(shù)往往失去其物理意義。為便修正后參數(shù)具有物理意義，引人參數(shù)修正向量用的上、下限值：
bl≤δP≤bu (6)
結(jié)構(gòu)參數(shù)修正可以歸結(jié)為以下二次規(guī)劃問題：
其中
其中，Wp和WE為加權(quán)矩陣，I為單位矩陣。
對于非線性結(jié)構(gòu)，需采用選代法進行模型修正。每步迭代中對結(jié)構(gòu)振動呈非線性影響的參數(shù)的攝動量通過設(shè)定δP的上下限值或權(quán)矩陣Wp來限止。
三、江陰長江公路大橋動力特性
江陰長江公路大橋結(jié)構(gòu)布置如圖1。其動力特性由有限元分析和環(huán)境振動試驗獲得。
1．有限元特征值分析
根據(jù)江陰長江公路大橋設(shè)計施工圖構(gòu)造三維有限元動力分析模型。在該模型中，箱型橋道梁簡化為穿過截面剪心的脊梁，并且箱梁的所有慣性與截面特性均賦予該脊梁。橋塔簡化為三維多層門式框架，塔柱下端團結(jié)于基底。由于塔柱與橫梁相對較粗，塔柱與橫梁單元間由剛性單元聯(lián)接。橋塔和橋道梁均采用三維梁單元，每個節(jié)點6個自由度。主纜和吊杯由線彈性桿單元模擬，吊桿通過無質(zhì)量剛性單元與橋道梁聯(lián)結(jié)。對于主纜直背索由于拉力和垂度引起的非線性剛度特性，通過利用等效彈模的概念將纜索剛度進行線性化近似。
塔梁之間的聯(lián)結(jié)條件根據(jù)設(shè)計的支座類型，除了允許橋道梁在橋軸向自由滑移和繞垂直與橋軸的兩個正交方向自由轉(zhuǎn)動外，其余的自由度均與橋塔呈主從約束關(guān)系。
利用建立的有限元模型并假定橋梁圍繞其靜力平衡位置作微幅振動，對該橋進行無阻尼自由振動分析。分析結(jié)果表明，雖然部分振型存在空間耦合振動，但還是可以將所有振型歸為兩大類；主梁（主纜主導(dǎo)的振型和橋塔主導(dǎo)振型。而主梁/主纜主導(dǎo)的振型又可以分為堅彎（V）、側(cè)彎（L）和扭轉(zhuǎn)（T）振型；橋塔主導(dǎo)振型也可以分為縱彎（T－B）、側(cè)彎（T－S）和扭轉(zhuǎn)（T－T）振型。有限元分析顯示，大橋基頻是0.052Hz的主梁對稱側(cè)彎振動；第一階橋塔主導(dǎo)振型出現(xiàn)在0.474Hz（北塔側(cè)向彎擺振動）。表1（第2列）給出了部分由基于設(shè)計圖紙的有限元分析得到的江陰長江公路大橋結(jié)構(gòu)自振頻率。圖2繪出了一些理論振型曲線。
2．環(huán)境振動分析
在江陰長江公路大橋通車前對該橋的自振特性進行了現(xiàn)場實測試驗。試驗通過超低頻加速度傳感器拾取大橋各部位的環(huán)境振動響應(yīng)，從而分析結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，包括自振頻率、振型以及相應(yīng)的阻尼比。表1第3列給出了由環(huán)境振動試驗獲得的大橋自振頻率。
四、有限元模型修正
有限元模型的不精確因素主要來自三個方面：模型結(jié)構(gòu)誤差、模型階次誤差和模型參數(shù)誤差。這里假定模型參數(shù)誤差是有限元模型誤差的最主要因素。模型參數(shù)誤差一般由不精確的材料、幾何參數(shù)和聯(lián)結(jié)、邊界條件估計引起。本文在修正江陰大橋有限元模型參數(shù)時，假定實橋幾何尺寸等參數(shù)是精確的，并假定主梁、主纜及吊桿各單元的誤差是分別一致的。另外，成橋狀態(tài)主纜軸力也由環(huán)境振動試驗分析獲得。雖然主纜軸力理論值與實測值相差很小，本文在模型修正時以實測值輸入計算模型中。
對眾多結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了特征值敏感分析。在排除特征值非敏感參數(shù)后，確定了待修正的參數(shù)。這些參數(shù)包括：主梁的平動、轉(zhuǎn)動質(zhì)量密度md，Im和彈性模量Ed、截面抗彎慣性矩Izz， Iyy和抗扭慣矩Ixx；主纜的等效彈模和質(zhì)量密度Emc， mmc（跨中部分）以及Ebc， mbc（直背索）；橋塔的材料彈橫Ent（北塔）和Est(南塔)。
經(jīng)過數(shù)次選代修正，各振型的理論厚測頻率差均有不同程度的減小。圖3給出了模型修正前后的理論厚測頻率相對差。修正后，理論厚測頻率最小誤差的0.l％（振型L1，T1），最大誤差6.8％（振型CL）。圖4為所修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)的修正量。可見，主梁的豎向抗彎慣矩Izz和主纜直背索等效彈模Ebc及南塔的混凝土彈模均有超過10％的變化；而主梁的彈模Ed的和轉(zhuǎn)動質(zhì)量密度見以及主纜的質(zhì)量密度mmc，mbc均變化很小。
五、小結(jié)
利用江陰長江公路大橋環(huán)境振動試驗所提取的模態(tài)參數(shù)，對該橋的動力有限元模型進行了修正。修正后有限元模型的動力特性更加接近于江陰長江公路大橋的實際結(jié)構(gòu)行為。所獲得的江陰長江公路大橋優(yōu)化后的模型可以具有多方面的用途，包括結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)再分析、某些振動控制策略的制訂以及大橋健康監(jiān)測和整體性評估的基準。
本文修正后有限元模型所預(yù)報的動力特性與大橋環(huán)境振動分析結(jié)果仍然存在一定的偏差。其原因是多方面的，包括所修正的參數(shù)未能覆蓋所有的模型誤差源、修正時所作的某些假定，等等。另外，環(huán)境振動法以及試驗數(shù)據(jù)分析也會引來一定的誤差。因此，欲獲得一個更加精確的模型，需要作進一步的研究。
結(jié)合江陰長江公路大橋結(jié)構(gòu)監(jiān)測的信息，可以對懸索橋結(jié)構(gòu)的非線性振動以及環(huán)境因素對結(jié)構(gòu)動力特性的影響等方面作更多深入的研究。
參考文獻
[1]M．I．Friswell and J．E．Mottershead，F(xiàn)inite Element Model Updoting in Structural Dynamics.Kluwer：Academic Pree. 1995
[2]范立礎(chǔ)，袁萬城，張啟偉．懸索橋結(jié)構(gòu)基于敏感性分析的動力有限元模型修正．土木工程學(xué)報， 2000， 33（1）： 9－14
關(guān)鍵詞 模型修正 動力特性 有限元模型 特征值敏感性 懸索橋
一、引言
有限元建模是大跨度索交承橋梁分析與控制的基本手段。通常，結(jié)構(gòu)有限元模型是根據(jù)設(shè)計圖紙構(gòu)造的，常隱含理想化假定與簡化。因此，有限元分析預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和在實際結(jié)構(gòu)上測得的結(jié)構(gòu)行為之間不可避免地會存在一定的偏差。造成這一偏差的原因主要包括：①連續(xù)系統(tǒng)離散化引起的誤差；②結(jié)構(gòu)幾何與邊界條件的不確定性；③結(jié)構(gòu)材料特性的變異性；④測量過程中大橋環(huán)境與運營條件的變化;⑤試驗測量和試驗信號處理過程中的誤差。
利用結(jié)構(gòu)現(xiàn)場實測的振動信息修正結(jié)構(gòu)的有限元模型，使得修正后結(jié)構(gòu)分析的模態(tài)參數(shù)與試驗值趨于一致。這一過程即有限元模型修正，也稱參數(shù)（數(shù)學(xué)）模型修正［1］。對于大跨度索交承橋梁，修正后的結(jié)構(gòu)模型至少可以應(yīng)用于三個方面：①結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)和動力安全性再分析；②某些振動控制技術(shù)的控制策略制訂；③利用新建橋梁現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)修正得到的結(jié)構(gòu)模型可以用作大橋健康監(jiān)測和整體性評估的基準。
本文針對江陰長江公路大橋懸索橋結(jié)構(gòu)，利用大橋竣工試驗的環(huán)境振動測量數(shù)據(jù)和提取的模態(tài)信息，修正大橋在設(shè)計階段根據(jù)設(shè)計國紙所建立的有限元動力模型。為此，本文主要進行以下幾方面的研究介紹：
（1）簡單介紹一種適用于大跨度索交承橋梁結(jié)構(gòu)模型修正的方法；
（2）建立江陰長江公路大橋基于設(shè)計圖紙的有限元模型并進行自由振動分析；然后與大橋環(huán)境振動試驗結(jié)果相比較；
（3）對基于設(shè)計圖紙的有限元模型進行修正。
二、模型修正方法
在索交承橋梁的有限元振動特性分析中，結(jié)構(gòu)自振特性由以下方程確定：
其中，Ke和Kg分別為結(jié)構(gòu)的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣；上標t表示切線剛度；M為質(zhì)量矩陣。由于加勁梁質(zhì)量的變化影響纜索拉力從而影響結(jié)構(gòu)總體剛度
的變化，所以對索支承橋梁結(jié)構(gòu)的模型修正必需考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量變化對剛度變化的影響，是一種非線性模型修正問題。針對這一問題，可以采用一種基于特征值敏感性分析的參數(shù)修正方法【2，3】，引進行求解。現(xiàn)將這一方法簡單介紹如下。
將（1）式所示的結(jié)構(gòu)自由振動方程轉(zhuǎn)化為模態(tài)空間的特征方程，即可求得結(jié)構(gòu)第i階特征值人和相應(yīng)的特征向量φi：
Kφi＝λiMφi （2）
其中，剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M由結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。結(jié)構(gòu)參數(shù)包括結(jié)構(gòu)材料與幾何特性、構(gòu)件聯(lián)結(jié)條件以及結(jié)構(gòu)的邊界條件。
對于建立的有限元模型，假設(shè)估計的結(jié)構(gòu)參數(shù)集為Pa。通過分析可得結(jié)構(gòu)理論特征值向量Λa和特征向量矩陣（振型矩陣）Φa（下標a表示有限元模型初始估計值或理論分析值）。對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)試驗分析，可得結(jié)構(gòu)實測的特征值Λe和振型Φe（下標e表示試驗實測值）。
如果不考慮測量精度較低的振型項，通過特征值對結(jié)構(gòu)參數(shù)的Taylor級數(shù)展開并略去高階項，可得結(jié)構(gòu)參數(shù)修正與特征值余量之間的關(guān)系：
δΛ=SδP （3）
其中，δΛ為結(jié)構(gòu)特征值余量，δΛ＝Λe－Λa；δP為結(jié)構(gòu)參數(shù)的修正值向量，δP＝P一Pa；P為修正后的參數(shù)向量；S為結(jié)構(gòu)特征值的一階靈敏度矩陣。
值得注意的是，當有參數(shù)對測量值（頻率）影響非常小，或幾個參數(shù)對測量值影響相近時。靈敏度矩陣S很可能會是病態(tài)的。另外，當待修正參數(shù)較多或?qū)崪y數(shù)據(jù)存在較大誤差時，修正的參數(shù)往往失去其物理意義。為便修正后參數(shù)具有物理意義，引人參數(shù)修正向量用的上、下限值：
bl≤δP≤bu (6)
結(jié)構(gòu)參數(shù)修正可以歸結(jié)為以下二次規(guī)劃問題：
其中
其中，Wp和WE為加權(quán)矩陣，I為單位矩陣。
對于非線性結(jié)構(gòu)，需采用選代法進行模型修正。每步迭代中對結(jié)構(gòu)振動呈非線性影響的參數(shù)的攝動量通過設(shè)定δP的上下限值或權(quán)矩陣Wp來限止。
三、江陰長江公路大橋動力特性
江陰長江公路大橋結(jié)構(gòu)布置如圖1。其動力特性由有限元分析和環(huán)境振動試驗獲得。
1．有限元特征值分析
根據(jù)江陰長江公路大橋設(shè)計施工圖構(gòu)造三維有限元動力分析模型。在該模型中，箱型橋道梁簡化為穿過截面剪心的脊梁，并且箱梁的所有慣性與截面特性均賦予該脊梁。橋塔簡化為三維多層門式框架，塔柱下端團結(jié)于基底。由于塔柱與橫梁相對較粗，塔柱與橫梁單元間由剛性單元聯(lián)接。橋塔和橋道梁均采用三維梁單元，每個節(jié)點6個自由度。主纜和吊杯由線彈性桿單元模擬，吊桿通過無質(zhì)量剛性單元與橋道梁聯(lián)結(jié)。對于主纜直背索由于拉力和垂度引起的非線性剛度特性，通過利用等效彈模的概念將纜索剛度進行線性化近似。
塔梁之間的聯(lián)結(jié)條件根據(jù)設(shè)計的支座類型，除了允許橋道梁在橋軸向自由滑移和繞垂直與橋軸的兩個正交方向自由轉(zhuǎn)動外，其余的自由度均與橋塔呈主從約束關(guān)系。
利用建立的有限元模型并假定橋梁圍繞其靜力平衡位置作微幅振動，對該橋進行無阻尼自由振動分析。分析結(jié)果表明，雖然部分振型存在空間耦合振動，但還是可以將所有振型歸為兩大類；主梁（主纜主導(dǎo)的振型和橋塔主導(dǎo)振型。而主梁/主纜主導(dǎo)的振型又可以分為堅彎（V）、側(cè)彎（L）和扭轉(zhuǎn)（T）振型；橋塔主導(dǎo)振型也可以分為縱彎（T－B）、側(cè)彎（T－S）和扭轉(zhuǎn)（T－T）振型。有限元分析顯示，大橋基頻是0.052Hz的主梁對稱側(cè)彎振動；第一階橋塔主導(dǎo)振型出現(xiàn)在0.474Hz（北塔側(cè)向彎擺振動）。表1（第2列）給出了部分由基于設(shè)計圖紙的有限元分析得到的江陰長江公路大橋結(jié)構(gòu)自振頻率。圖2繪出了一些理論振型曲線。
2．環(huán)境振動分析
在江陰長江公路大橋通車前對該橋的自振特性進行了現(xiàn)場實測試驗。試驗通過超低頻加速度傳感器拾取大橋各部位的環(huán)境振動響應(yīng)，從而分析結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，包括自振頻率、振型以及相應(yīng)的阻尼比。表1第3列給出了由環(huán)境振動試驗獲得的大橋自振頻率。
四、有限元模型修正
有限元模型的不精確因素主要來自三個方面：模型結(jié)構(gòu)誤差、模型階次誤差和模型參數(shù)誤差。這里假定模型參數(shù)誤差是有限元模型誤差的最主要因素。模型參數(shù)誤差一般由不精確的材料、幾何參數(shù)和聯(lián)結(jié)、邊界條件估計引起。本文在修正江陰大橋有限元模型參數(shù)時，假定實橋幾何尺寸等參數(shù)是精確的，并假定主梁、主纜及吊桿各單元的誤差是分別一致的。另外，成橋狀態(tài)主纜軸力也由環(huán)境振動試驗分析獲得。雖然主纜軸力理論值與實測值相差很小，本文在模型修正時以實測值輸入計算模型中。
對眾多結(jié)構(gòu)參數(shù)進行了特征值敏感分析。在排除特征值非敏感參數(shù)后，確定了待修正的參數(shù)。這些參數(shù)包括：主梁的平動、轉(zhuǎn)動質(zhì)量密度md，Im和彈性模量Ed、截面抗彎慣性矩Izz， Iyy和抗扭慣矩Ixx；主纜的等效彈模和質(zhì)量密度Emc， mmc（跨中部分）以及Ebc， mbc（直背索）；橋塔的材料彈橫Ent（北塔）和Est(南塔)。
經(jīng)過數(shù)次選代修正，各振型的理論厚測頻率差均有不同程度的減小。圖3給出了模型修正前后的理論厚測頻率相對差。修正后，理論厚測頻率最小誤差的0.l％（振型L1，T1），最大誤差6.8％（振型CL）。圖4為所修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)的修正量。可見，主梁的豎向抗彎慣矩Izz和主纜直背索等效彈模Ebc及南塔的混凝土彈模均有超過10％的變化；而主梁的彈模Ed的和轉(zhuǎn)動質(zhì)量密度見以及主纜的質(zhì)量密度mmc，mbc均變化很小。
五、小結(jié)
利用江陰長江公路大橋環(huán)境振動試驗所提取的模態(tài)參數(shù)，對該橋的動力有限元模型進行了修正。修正后有限元模型的動力特性更加接近于江陰長江公路大橋的實際結(jié)構(gòu)行為。所獲得的江陰長江公路大橋優(yōu)化后的模型可以具有多方面的用途，包括結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)再分析、某些振動控制策略的制訂以及大橋健康監(jiān)測和整體性評估的基準。
本文修正后有限元模型所預(yù)報的動力特性與大橋環(huán)境振動分析結(jié)果仍然存在一定的偏差。其原因是多方面的，包括所修正的參數(shù)未能覆蓋所有的模型誤差源、修正時所作的某些假定，等等。另外，環(huán)境振動法以及試驗數(shù)據(jù)分析也會引來一定的誤差。因此，欲獲得一個更加精確的模型，需要作進一步的研究。
結(jié)合江陰長江公路大橋結(jié)構(gòu)監(jiān)測的信息，可以對懸索橋結(jié)構(gòu)的非線性振動以及環(huán)境因素對結(jié)構(gòu)動力特性的影響等方面作更多深入的研究。
參考文獻
[1]M．I．Friswell and J．E．Mottershead，F(xiàn)inite Element Model Updoting in Structural Dynamics.Kluwer：Academic Pree. 1995
[2]范立礎(chǔ)，袁萬城，張啟偉．懸索橋結(jié)構(gòu)基于敏感性分析的動力有限元模型修正．土木工程學(xué)報， 2000， 33（1）： 9－14
